O Hotel Hilbert está Lotado. Temos Vagas…

Caso você esteja lendo este texto durante o trabalho em vez de trabalhar ou durante a aula em vez de estudar, temos uma boa e uma má notícia. A boa notícia é que ler sobre o infinito pode lhe dar a impressão de que o tempo passa mais rápido. A má notícia é que quando brincamos com o infinito, somos obrigados a admitir que a hora de ir embora do trabalho ou da aula, em termos matemáticos, nunca deveria chegar. Assim o maior objetivo deste artigo é mostrar que Ela (a Matemática) é uma ninfomaníaca e sussurra aos nossos ouvidos sem parar, sem parar, sem parar, sem parar.

Sempre que o relógio parece não avançar temos uma oportunidade de lembrar que o tempo é um conceito muito mais complexo do que estamos acostumados. Considere que faltam apenas 20 minutos para você ir para casa. Somos obrigados a admitir que antes de se passar 20 minutos, 10 minutos devem se passar. Mas além disso, antes de se passar 10 minutos, 5 minutos devem correr. Mas antes disso 1 minuto devem correr. E antes disso 30 segundos… bom, já deve ter dado para entender. O problema crucial é que o tempo pode ser dividido infinitamente, de modo que somos obrigados a admitir que para um reles segundo passar temos que cruzar o infinito. Por outro lado, ao vivermos em um espaço curvo e relativo, o tempo sempre parece passar mais devagar para quem está em movimento do que para quem está parado. Mas esta é outra história.

O Paradoxo de Zenão

O que vimos acima é uma variação de um dos Paradoxos de Zenão, no qual o herói Aquiles nunca deveria alcançar a tartaruga. Imagine você que o “The Flash”™ e o “Jaba, the hutt”™ vão apostar uma corrida. Como o Flash é muito foda ele deixa o Jaba sair na frente com um dia de vantagem. Depois disso ele sai em disparada na velocidade da luz… Mas pense comigo:

1 – Para ultrapassar Jaba ele deve primeiro chegar onde ele já chegou ( ponto x).
2 – Tendo os dois movimento constante ao chegar em X Jaba já se arrastou mais dois metros (X+2=y)
3 – Para chegar ao ponto Y ele deve primeiro chegar onde ele já chegou.
4 – Ao chegar em Y Jaba já se arrastou mais um pouquinho (y+ (um pouquinho)=z)
5 – Para chegar ao ponto Z ele deve primeiro chegar onde ele já chegou…
etc..

Assim como o tempo o espaço também pode ser dividido infinitamente, portanto Flash nunca alcançara o gordão do Jaba. Não importa quão rápido sej ao primeiro ou quão divagar seja o segundo. Estes problemas foram formulados por Zenão cerca de 400 anos antes de cristo e incomodam os lógicos até hoje, pois embora siga uma lógica rigorosa sabemos que por mais que demore a hora do almoço sempre chega e sempre podemos ultrapassar o carro a frente. Talvez isso ocorra porque assim como a matéria e a energia o tempo e o espaço também possua uma unidade mínima abaixo da qual não se pode contar. Neste caso poderiamos entender o constructo espaço-tempo como se fosse composto por pixels e não se pode acender meio pixel.

Georg Cantor e os vários tipos de Infinito

Mas por razões de saúde metal o infinito foi deixado de lado pelos matemáticos por séculos até que Georg Cantor (1845-1918)  resolver quebrar o tabu. Cantor realmente terminou a vida em um manicômio, mas sua esquizofrenia abriu portas interessantes que não foram fechadas até hoje.

Cantor foi um homem religioso. Destes que não só falam com Deus, mas que ouvem a resposta. Ele acreditava que existem tipos diferentes de infinitos e dedicou sua vida para provar isso por meio de cálculos. No caminho ele foi internado diversas vezes e inventou a teoria dos conjuntos e todo um novo ramo da matemática.

Seus colegas de trabalho há conheciam os números naturais (1,2,3,4,5), os inteiros (…-2,-1,0,+1,+2…), os racionais (0.5,1.42,23.23…) os irracionais (π, e, etc..) e os reais (que inclui todos os anteriores). Mas ninguém tinha considerado que mesmo se todos os números sejam infinitos, alguns são mais infinitos que outros.

Os números irracionais por exemplo, não podem ser representados por uma simples fração, nem mesmo por um número decimal. Consequentemente Cantor mostrou que embora os números naturais e racionais sejam contaveis, os numeros irracionais e reais não o são. Pense assim.. mesmo se você estiver em uma fila infinita do Banco do Inferno e sua senha é 100000000000000000000000000000000000000000 você sabe que será o próximo quando o número 99999999999999999999999999999999999999999 for anunciado. Mas se Satã chamar π ninguém saberá quem seria o próximo.

Assim os irracionais são mais infinitos que os números racionais. Eles são tão espetacularmente infinitos que ganharam um nome próprio: “transinfinitos”. Cantor representava o conjunto de infinitos racionais, por 0 (alef zero) e os transinfinitos irracionais de 1 (alef 1). Em outras palavras, os números naturais são infinitos em uma direção… 1->2. Os números inteiros são infinitos em duas direções -1<-0->1, mas os números irracionais rasgam o tecido da matemática e são infinitos para dentro! Não é toa que Cantor passou a velhice num hospício.

Hotel Hilbert está lotado

Mas o universo  0 também tem seus encantos. Conhecer seus vizinhos trás algumas vantagens. Uma destas vantagens pode ser entendida por meio do paradoxo do Hotel Hilbert, que recebeu este nome porque foi descoberto pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943) que se aprofundou nos estudos do infinito iniciados por Cantor.

Imagine que você acaba de chegar no Hotel Hilbert e pede uma vaga. Você escolheu este hotel justamente porque sabe que lá existem quartos infinitos, mas para sua surpresa o recepcionista informa que eles estão lotados. Todos os quartos do hotel infinito estão ocupados por hóspedes infinitos. Que fazer?

Hilbert sugere que isso pode ser resolvido se o gerente deslocar o hóspede do quarto 1 para o quarto 2. O do quarto 2 para o quarto 3, e assim sucessivamente. Desta forma, apesar do incomodo um quarto vazio vai surgir.

Sempre há vagas no Hotel Hilbert, mesmo quando ele está lotado.

Por LöN Plo